Todennäköisyyslaskennan jatkokurssi

Välikoe: Perjantai 08.04.2022, kello 08:15-10:00 (harjoituksissa), SÄ118

Tentti: Keskiviikko 4.5.2022 kello 13:15-16:00, SÄ102

Luennot: Tiistai 15.3.2022 – Keskiviikko 29.4.2022
Pääasiassa Tiistaisin, kello 10:15-12:00 (IT105) ja Keskiviikkona kello 14:15-16:00 (vaihtelee hieman).
Huoneiden satunnainen vaihtelu on valitettavaa, vaikkakin tragikoomista. Ehdotan, että
tallennat kalenteriisi kurssin ajat ja huoneet.

Voit lisätä Google kalenterin tästä:
kurssikalenteri

Kurssin luennoille voi etäosallistua. Zoomlinkki on Pepissä.

Laskuharjoitukset: (Pääasiassa) Perjantaisin, kello 8:15-10:00, SÄ118.

Toimistotunnit: (Alustavasti) Torstaisin, kello 14:15-15:00, MA334.

Apua kotitehtäviin: Toimistotuntien ja Discord kanavan lisäksi (ks. Moodle), voit saada apua Tuutortuvasta, joka on Matematiikan laitoksen käytävällä, kolmannessa kerroksessa. Se on se keltainen käytävä, jossa on täytettyjä eläimiä. Sigmakillasta vähän eteenpäin, kampuksen länsipäädyssä.

Kurssin kuvaus:

Todennäköisyyslaskenta kuvaa ilmiöitä ja malleja, jotka ovat joko liian kompleksisia kuvattavaksi yksityiskohtaiseksi, tai niihin sisältyy osia joiden lopputulosta ei tiedetä varmaksi. Fysiikassa esiintyy tilanteita, statistisessa mekaniikassa ja kvanttimekaniikassa, joissa systeemin tilaa ei edes ole mahdollista kuvata niin tarkasti, että jokaisen mittauksen tulos voitaisiin ennustaa. Tällä kurssilla opiskelemme työkaluja, kieltä ja yksinkertaisia malleja, joita tarvitaan satunnaisten ilmiöiden kuvailuun.

Satunnainen prosessi on usein tavattoman kompleksi, ja siksi sitä idealisoidaan ja yksinkertaistetaan. Esimerkki satunnaisprosessista on kurssimme luentosalien sijainti.
Joissain tapauksissa emme edes varmaksi tiedä mikä prosessin täydellinen luonne on (esim. eliniän määrittyminen). Vastaava tilanne esiintyy fysiikan kenttäteorioissa, joissa ei suoraan sanota mikä objekti tai rakenne tuottaa tuloksen, vaan oletetaan että systeemillä on tiettyjä ominaisuuksia, joista voi johtaa laskettavia suureita ja testattavia sisältöjä. Todennäköisyysteorian kielessä tämä “tausta-avaruus” kuvataan todennäköisyysavaruutena.

Prosessista emme saa suoraan tietoa, vaan sitä tarkastellaan aina havaintojen kautta. Kolikon tuloksen määritys riippuu lukemattomista alkeistapahtumista, mutta havaittu suure on yksinkertaisempi: kummin päin kolikko on pudottuaan pöydälle. Todennäköisyydessä
tapahtumat ovat mahdollisia havaintoja: esim. “kolikon heitto tuottaa klaavan”. Tapahtumat voivat olla vain tosia, tai epätosia. Satunnaismuuttuja antaa rikkaamman mahdollisuuden tuloksille. Sen avulla voimme kuvailla esimerkiksi puolueen kannatusta kannatusmittauksessa, joka on luku nollan ja sadan prosentin välillä. Tärkeä havainto on, ettei ole niin olennaista lopputuloksen kannalta, mikä aiheuttaa satunnaismuuttujalle tietyn käytöksen, vaan keskeistä on lopputuloksien mahdollisuudet ja jakauma. Siksi satunnaismuuttujaa käsitelläänkin ensisijaisesti sen ominaisuuksien kautta (odotusarvo, varianssi, momentit, jakauma jne.). Kurssin alussa keskitymme tilanteeseen, jossa on yksi satunnaismuuttuja — yhden kokeen yksi-uloitteinen tulos.

Todellisuus on kuitenkin yhtä reaalimuuttujaa tavattomasti rikkaampi. Osakkeiden hintoja kuvaa aikasarja, jossa hinta on annettu eri ajanhetkinä. Portfolion hinta riippuu sen osatekijöiden hinnoista. Ilmakehän tilaa kuvaa useat fysikaaliset muuttujat, jotka riippuvat
myös paikasta ja korkeudesta. Sarja erilaisia kokeita tuottaa myös jonon mittauksia. Tällaisetkin havainnot voi paloitella komponentteihin, yksiulotteisiin osiin, ja hahmotella prosessin tulos satunnaisena vektorina. Kurssin toisessa osassa tarkastelemme
tällaisten prosessien kuvailuun käytettyä kieltä. Keskeisin käsite on riippumattomuus, joka täsmällisesti kuvaa sen, vaikuttaako yhden komponentin/mittauksen arvo toiseen. Jos eri komponenttien, tai osien välillä on riippuvuutta, sitä voi kuvata ehdollisen odotusarvon ja ehdollisen jakauman avulla. Myös korrelaatio liittyy riippuvuuteen, mutta se kuvaa lähinnä lineaarisia riippuvuussuhteita. Tärkein yksittäinen kaksi- ja useampiulotteinen jakauma on normaalijakauma.

Kurssin lopuksi tarkastelemme kahta teoreettista tulosta, jotka kuvaavat todella monen toistokokeen lopputuloksen jakaumaa ja pyrimme soveltamaan kurssin työkaluja tutkimaan monimutkaisempia prosesseja. Ajasta ja kiinnostuksesta riippuen voimme tarkastella
satunnaiskävelyä tai poissonin prosesseja. Kurssiin voi sisällyttää myös lyhyen projektityön, jossa kuvaillaan satunnainen prosessi, sen jakaumaa, ja sovelletaan kurssin käsitteitä siihen.

Kurssin tavoitteet: Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija:

• Yhdessä ulottuvuudessa:
  • osaa käsitellä satunnaismuuttujia teoriassa ja käytännössä, ja tuntee eron alkeistapahtumaan
  • osaa mallintaa yksinkertaisia tilanteita satunnaismuuttujilla
  • osaa laskea kertymäfunktion, tiheysfunktion ja kvantiilifunktion toisistaan
  • osaa määrätä satunnaismuuttujien generoivia funktioita ja soveltaa niitä esimerkiksi momenttien laskemiseen
  • Tuntee tärkeimmät yksiulotteiset jakaumat: Normaali, Binomi, Eksponentti ja Gamma.
• Kahdessa ulottuvuudessa:
  • osaa käsitellä kaksiulotteisia satunnaismuuttujia, sekä ymmärtää yleistyksen korkeampiin ulottuvuuksiin
  • osaa käsitellä ehdollisia jakaumia ja ehdollisia odotusarvoja
  • osaa käyttää kaksiulotteisia diskreettejä ja jatkuvia jakaumia tehtävissä sekä laskea näihin liittyviä tunnuslukuja
  • tunnistaa kaksiulotteisen normaalijakauman ja osaa käsitellä kaksiulotteisia normaalijakaumia
  • Osaa muodostaa kahden satunnaismuuttujan summan jakauman.
  • Soveltaa ehdollisuuden käsitettä käytönnössä.
• Teoriassa:
  • osaa selittää todennäköisyyslaskennan perustulokset kuten Suurten lukujen lain ja Keskeisen raja-arvolauseen
  • tunnistaa maailmasta satunnaisuudella mallinnettavia ilmiöitä
  • pystyy käyttämään todennäköisyyslaskennan käsitteitä (esim. riippumattomuus, suurten lukujen laki), ja johtaa niistä yksinkertaisia seurauksia prosesseissa (esim. Poissonin prosessi, satunnaiskävely).

Keskeiset käsitteet: Kurssin lopuksi opiskelijan tulisi tuntea seuraavat käsitteet, ja osata soveltaa niitä yksinkertaisiin laskennallisiin tehtäviin.

• Yhdessä ulottuvuudessa:
  • satunnaismuuttujan käsite
  • satunnaismuuttujan kertymäfunktio, tiheysfunktio ja kvantiilifunktio
  • jakauman momentit, odotusarvo ja varianssi
  • momenttigeneroiva funktio
• Kahdessa ulottuvuudessa:
  • kaksiulotteiset diskreetit ja jatkuvat jakaumat
  • riippumattomuuden tarkistus ja korrelaatio
  • ehdolliset jakaumat
  • ehdolliset odotusarvot
  • kaksiulotteinen normaalijakauma
• Teoriassa:
  • Suurten lukujen laki
  • Keskeinen raja-arvolause
  • Riippumattomuus käsitteenä

Kurssikirja: Tuominen, Todennäköisyyslaskenta I & II. Pääpaino II:ssa. Kurssin Moodleympäristössä jaetaan myös kalvoja ja monisteita, jotka kattavat kurssin aiheet. Kurssikirjaa ei siten ole välttämätöntä ostaa, vaikkakin suositeltavaa. Vanhoja painoksia saa halvalla netistä huutokaupoista.

Kurssimateriaali on sen verran klassista, että yksinkertainen googletus tai youtube haku mistä vain kurssimme teemasta löytää loputtoman määrän kirjoituksia ja videoita. Niistä yksi kattava on Peter J. Cameron:n tödennäköisyyden nootit.

Hyvä ja ilmainen teos Introduction to Probability, (Charles M. Grinstead and J. Laurie
Snel), ks täältä HTML muodossa, tai täältä PDF muodossa.

Moodlessa on myös nootteja, materiaaleja ja linkki Pekka Salmen viime vuoden luentokalvoihin. Joka viikko annan ohjeita lukemiselle, ja sinun tulisi lukea vähintään yksi suositelluista lähteistä. Nämä löytyvät Moodlesta.

Opettaja: Sylvester Eriksson-Bique, huone MA334.

Kokeet: Välikoe, ja Loppukoe. Uusintatentti kattaa molemmat näistä.

Tentissä ei saa käyttää laskinta, muistiinpanoja tai kirjaa.

Tenteissä tulee pystyä pyydettäessä näyttämään kuvallinen henkilökortti/opiskelijakortti.

Viikottainen tehtäväpaketti: Viikottaiset tehtävät palautetaan perjantaisin harjoituksissa, tai sähköisesti. Harjoituksissa on kaksi osuutta: kotitehtävät, ja harjoituksissa tehtävät livetehtävät.

• Myöhässä lähetettyä kotitehtävää ei hyväksytä.
• Kukin harjoitussarja on 20 pistettä, josta 10 pistettä on kotitehtäville ja 10 livetehtäville.
• Kotitehtävät voi tehdä joko itse tai yhteistyönä. Jos teet yhteistyötä, kirjaa paperiin kenen kanssa ratkaisit tehtävät. Kirjoittakaa kuitenkin omin sanoin vastauksenne. Kopiointia ei hyväksytä. Kotitehtävät arvioidaan aina oikeellisuuden perusteella.
• Livetehtävät on tarkoitus tehdä ohjatuissa n. 2-4 hengen ryhmissä osana laskuharjoituksia. Tällöin ryhmä palauttaa yhden suorituksen koko ryhmälle, kirjaa osallistujien nimet, ja saa yhteisen arvostelun. Tästä osiosta saa 10 pistettä, kun ryhmä työskennellyt aktiivisesti ja yrittänyt tehtäviä. Ryhmiä ohjataan harjoituksissa ratkaisujen löytämiseen. Halutessasi voit myös ratkoa tehtäviä yksin harjoituksissa.
• Halutessaan voi koko tehtäväpaketin tehdä harjoitusten ulkopuolella, ja palauttaa sähköisesti. Tällöin arviointi tehdään oikeellisuuden perusteella.
• Useista papereista koostuva vastaus tulisi NITOA yhteen!
• Sähköisesti palautettaessa tulee vastaukset palauttaa yhtenä PDF dokumenttina. Vastaukset voi skannata esim. puhelimen apilla.
• Alimman harjoituksen pisteitä ei huomioida arvostelussa.

Arvostelu: Kurssiarvosana myönnetään kokonaispisteistä seuraavien prosenttien mukaisesti.

• 0: hylätty alle 50 %
• 1: 50 % pisteistä
• 2: 60 % pisteistä
• 3: 70 % pisteistä
• 4: 80 % pisteistä
• 5: 90 % pisteistä

Edelläolevia prosentteja voidaan korjata, mutta vain alaspäin.

Oppilas voi suorittaa kurssin yhdellä neljällä tavoista. Oppilaan ei tarvitse valita miten
hän suorittaa kurssin, vaan arvosana määritetään sen kaavan mukaan joka tuottaa parhaimman arvosanan. Uusintatentti arvioidaan erikseen, ja siihen tulee ilmoittautua erikseen. Pääasiassa kurssi suoritetaan yhdellä seuraavista.

• Perussuoritus: Tehtäväpaketit: 40%; Välitentti 30%; Lopputentti 30%.
• Projekti suoritus: Tehtäväpaketit: 40%; Projekti 60 % — eli: projekti korvaa tentit

Välitentti ja tentti on joka tapauksessa suositeltavia harjoituksia, vaikka kurssin suoritus olisi projektilla. Tällöin saat palautetta osaamisestasi tenteissä.

Poikkeuksellississa tapauksissa, kuten jos välitenttiin ei pääse, voi arvioinnissa käyttää seuraavia tapoja.

• Vaihtoehtoinen suoritus I: Tehtäväpaketit: 50 %; Lopputentti 50 %
• Vaihtoehtoinen suoritus II: Uusintatentti 100 %
• Uusintatentti tai projekti voivat korvata väli- tai lopputentin, jos niin saadaan parempi arvosana käyttäen toista kaavaa.
• Lopputentin puuttuessa on uusintatenttiin mentävä tai tehtävä projekti. Ole yhteyksissä, jos ajankohta ei sovi.

Projekti: Tenttien sijasta, opiskelija tai ryhmä voi kirjoittaa n. 5-10 sivun projektin, jossa syvennytään johonkin satunnaiseen malliin tai prosessiin. Projektia voi käyttää myös kompensoimaan välitenttiä tai lopputenttiä. Projekti voi muodostaa alun myös kandidaatin tutkielmalle. Huomioi kuitenkin, että kandidaatin tutkielma tulee kirjoittaa erikseen ja itsenäisesti. Voit kuitenkin sisällyttää oman osiosi, ja hyödyntää projektia pohjatyönä.

Projektin tekijä voi myös tehdä välitentin ja lopputentin, ja ottaa ne harjoituksina. Tämä on suositeltavaa, koska näin saat palautetta oppimisestasi.

Jos projekti on poikkeuksellisen erinomaisesti suoritettu – voidaan laskukaavasta riippumatta myöntää kurssiarvosana 5.

Projektin vaatimukset:

• Palautetaan viimeistään lopputentin viikon lopuksi (SU 8.5.2022),
• Tulee olla vähintään n. 5 sivua pitkä.
• Sisältää vähintään kuusi käsitettä kurssiltamme, joista vähintään kaksi kustakin kolmesta kurssin osasta (yksiulotteiset satunnaismuuttujat, kaksiulotteiset satunnaismuuttujat ja teoria). Hyväksytä aihe ennen aloitusta opettajalla – esimerkiksi toimistotunneilla.
• Sisältää vähintään kolme olennaista laskutoimitusta seuraavista: ehdollinen odotusarvo, riippumattomuus, tiheysfunktio, korrelaatio, varianssi.
• Jos projekti tehdään ryhmänä, on sen pituus vähintään n. 10 sivua, ja on silloin sen kuvattava kunkin opiskelijan kontribuutio mahdollisimman tarkasti. Esimerkiksi, minkä osuuden, laskun, opiskelija kirjoitti. Arvosana muodostuu tällöin
  puoliksi koko projektin laadusta, ja puoliksi opiskelijan omasta kontribuutiosta.
• Projekti on huolella kirjoitettu ja kielitarkastettu. Voit käyttää latex:ia (esim. overleafin kautta), tai Wordia.
• Projektissa on selkeä rakenne: johdanto, sisältö, ja lopetus. Johdannossa opiskelija on kuvaillut ilmiötä selkeästi ja omin sanoin.
• Ryhmässä ei voi olla enempää kuin 4 osallistujaa, ja mieluiten 2-3.

Pituudesta ja tarkasta sisällöstä voidaan joustaa eikä muuten ansiokasta tutkielmaa tarvitse turhaan pidentää. Toisaalta ylipitkästä tutkielmasta ei saa juurikaan lisäpisteitä eikä siitä rangaista. Keskeistä on että kurssin sisältöjä on käsitelty riittävän laajasti.

Projektin arvostelu: Saat palautteen, jossa kukin projektin osa-alue (sisältö 30%, kieli 20 %, matematiikka/kurssisisällöt 50 %). Alueet arvioidaan erikseen ja kokonaispistemäärä on osa-alueiden summa. Pisteet annetaan alueissa seuraavasti. Puolikkaita pisteitä voidaan myös antaa.

• 5: Projekti täyttää vaatimukset erinomaisesti, ja siinä on enintään pieniä puutteita. Erinomaisuuden arvioinnissa huomioidaan ansiot kuten hyvä ryhmätyöskentely, omintakeinen/luova analyysi, poikkeuksellisen kiinnostava aihe, luovuus aiheen käsittelyssä, ohjelmointi ja numeeriset laskut, poikkitieteellisyys. Tällaiset erityisansiot voivat kompensoida puutteita.
• 4: Projekti täyttää vaatimukset hyvin, vaikka yksittäisissä kriteereissä voikin olla suurempia puutteita.
• 3: Projekti täyttää vaatimukset tyydyttävästi. Projektista ilmenee kurssiteemojen hyvä tuntemus. Puutteita voi esiintyä useassa kriteerissä.
• 2: Projektissa on paljon puutteita, mutta siinä on yritystä ja matemaattiset teemat jotakuinkin paikallaan.
• 1/hylätty: Projekti ei täytä vaatimuksia, ja siinä on merkittäviä puutteita.

Projektin voi halutessaan kirjoittaa myös englanniksi. Saksankielinen tutkielma voidaan myös hyväksyä.

Esimerkkiaiheita.

• Teoria: Satunnaismuuttujan karakteristinen funktion ominaisuudet ja yksikäsitteisyys.
• Teoria: Martingaalin määritelmä
• Simulointi ja laskenta: Satunnaisliike verkossa (monia suuntia!)
• Simulointi ja laskenta: Ising malli ja numeeriset laskut
• Simulaatiot ja laskenta: Satunnaisen puun malli
• Simulointi ja laskenta: Brownin liike tai Brownin silta
• Teoria: Brownin liikkeen konstruoiminen Fourier sarjan avulla
• Laskenta: N:n Gaussisen muuttujan maksimmin jakauman analysoiminen
• Poikkitieteellinen: Radioaktiivisen atomin hajoamisen kuvailu, ja ominaisuuksien johtaminen fysiikaalisesti, sekä selittäminen todennäköisyysmallilla. (Poissonin jakauma)
• Poikkitieteellinen: Osakkeen tai muun hinnan mallintaminen. Oletukset jotka kuvaavat hinnan kehitystä ja analysoiminen esimerkkitapauksissa. Minkälaisia riippuvuuksia voi havaita?
• Poikkitieteellinen: Kvanttisysteemin tilan kuvailu, ja esimerkiksi Groverin algoritmin kuvailu ja analysoiminen.
• Geometria/Analyysi: Esimerkki singulaarista jatkuvasta jakaumasta ja Kantorin porrasfunktio (jakauman analysoiminen, riippumattomuuden kuvailu)
• Tilastot: Lineaarinen regressiomalli ja perustelut
• Poikkititeteellinen: Informaation määritelmä / Entropia, ja miten se voidaan tulkita keskimääräisenä määränä bittejä jotka tarvitaan kuvaamaan lähetettyä informaatiota.

Muista: Voit valita oman aiheen! Keskeistä on että siinä voit käsitellä kurssimme teemoja. Mielenkiintoisia ajatuksia otetaan vastaan innolla.